Optimization Methods in Finance Chapter 1.3

1.3 Financial Mathematics

1.3.1 Portfolio Selection and Asset Allocation

투자자가 다양한 유가증권(주식, 채권 등)에 일정 금액을 투자한다고 가정한다. 각 유가증권 i에 대한 기대 수익률 μi​와 분산 σi^2​가 주어진다. 또한, 두 유가증권 i와 j 간의 상관계수 ρij​도 알려져 있다고 가정합니다. 유가증권 ii에 투자된 비율을 xi​로 나타낼 때, 포트폴리오의 기대 수익률과 분산은 다음과 같이 계산된다:

여기서 Qij=ρijσiσj, 그리고 μ=(μ1,…,μn)이다.

 

평균-분산 최적화(Mean-Variance Optimization, MVO)

마코위츠의 포트폴리오 최적화 문제는 종종 평균-분산 최적화(Mean-Variance Optimization, MVO)로 불린다.

이는 다음과 같이 수학적으로 표현할 수 있다:

여기서:

• 첫 번째 제약 조건: 각 유가증권에 투자된 비율 xi​의 합이 1이어야 한다.
• 두 번째 제약 조건: 기대 수익률이 최소 목표 수익률 R 이상이어야 한다.
• 세 번째 제약 조건: 공매도 금지(Short sales 금지)를 위한 비음수 제약 조건이 추가되었다.

인덱스 펀드 전략

 

인덱스 펀드는 주식이나 채권 등 여러 종류의 유가증권을 모아서 전체 시장을 따라가는 방식으로 투자하는 펀드이다.

인덱스 펀드 전략은 상당히 많은 수의 유가증권을 포함하여 광범위한 시장의 움직임을 반영하려고 한다.  이 전략은 효율적 시장 가설에 기반을 두고 있으며, 이는 주식 가격이 시장에 존재하는 모든 정보를 이미 반영하고 있다는 가정을 한다. 따라서 특별히 어떤 주식을 고르더라도 그 주식이 더 큰 이익을 가져다줄 가능성은 없다는 것이다. 인덱스 펀드 전략은 이 이론을 기반으로 하며, 시장 평균만 따라가면 된다는 생각을 가지고 있다.

활동적으로 관리되는 펀드 (엑티브 펀드)는 거래 비용을 발생시키며, 이는 전체 수익률을 감소시키는 반면, 인덱스 펀드는 패시브 전략을 사용하여 주식을 자주 사고 팔지 않아 관리 비용이 적게 든다. 

투자 회사들이 인덱스 펀드를 구성하는 방법은 여러 가지가 있다. 그 중 하나는 비슷한 주식들이 하나의 대표 주식으로 인덱스에 포함되도록 군집화(clustering) 기법을 사용하는 것입니다. 이 방법은 비슷한 특성을 가진 주식들을 그룹으로 묶어 그 중 하나만 대표로 뽑아 인덱스에 포함시키는 방식이다. 이렇게 하면 전체 시장을 반영하면서도 관리가 효율적이게 된다. 이 과정은 주로 정수 계획법(Integer Programming)이라는 수학적 방법을 통해 이루어진다. 정수 계획법은 최적의 선택을 하는 수학적 도구로, 여러 제약 조건 하에서 최고의 선택을 할 수 있게 도와준다.

 

1.3.2 Pricing and Hedging of Options

유럽식 콜 옵션(European Call Option)

유럽식 콜 옵션은 정해진 만기일에 미리 정한 가격으로 특정 자산(기초 자산)을 살 수 있는 권리를 주는 계약이다. 여기서 중요한 점은, 권리일 뿐 의무가 아니라는 것이다. 즉, 옵션을 가진 사람은 원할 때만 이 권리를 행사하면 된다.

• 만기일(Expiration Date): 이 날짜가 되면 옵션을 행사할지 결정해야 한다.
• 행사 가격(Strike Price): 미리 정해진 가격으로 자산을 살 수 있는 가격이다.

유럽식 풋 옵션(European Put Option)

풋 옵션은 콜 옵션과 반대 개념으로, 자산을 팔 수 있는 권리를 준다. 콜 옵션은 살 권리지만, 풋 옵션은 팔 권리라는 점이 다르다.

 

옵션 가격 결정 문제

옵션의 가치는 기초 자산의 가격에 따라 달라진다. 따라서 옵션의 공정한 가격을 알아내기 위해서는 옵션 가격 결정 문제(pricing problem)를 풀어야 한다. 이를 위해 기초 자산의 미래 변동성을 예측하는 수학적 모델이 필요하다.

 

예시

XYZ 주식의 현재 가격이 $40라고 가정해 보자. 한 달 후에는 이 가격이 $80로 두 배가 될 수도 있고, $20로 절반이 될 수도 있다. 우리가 XYZ 주식을 $50에 살 수 있는 유럽식 콜 옵션을 사고 싶다면, 이 옵션의 공정한 가격은 얼마나 될까?

 

풀이 과정

 

• XYZ의 현재 주식 가격 : S0 = $40
• 한 달 후 주식 가격:
  • 상승할 경우 S1(u)=80
  • 하락할 경우 S1(d)=20
  • 유럽식 콜 옵션: 만기일에 주식을 $50에 살 수 있는 권리.

 

1단계: 복제 포트폴리오 구성

복제 포트폴리오는 주식과 현금으로 구성된 포트폴리오로, 이 포트폴리오가 나중에 옵션과 동일한 수익을 내도록 맞춘다.

이때, 다음과 같은 두 가지 조건을 충족해야 한다:

1. 주가가 $80로 올랐을 때 포트폴리오의 수익은 옵션의 수익($30)과 같아야 한다.
2. 주가가 $20로 떨어졌을 때 포트폴리오의 수익은 옵션의 수익($0)과 같아야 한다.

복제 포트폴리오 식

포트폴리오는 주식 Δ주와 현금 B로 구성된다.

 

오늘의 포트폴리오 가치 : P0 = 40Δ+B

 

다음 달에 주식 가격이 올라갈 경우와 내려갈 경우, 포트폴리오의 가치는 각각 다음과 같이 계산된다:

• 주가 상승 시 포트폴리오 가치: P1(u)=80Δ+B
• 주가 하락 시 포트폴리오 가치: P1(d)=20Δ+B

2단계: 옵션의 만기일 수익 계산

 

유럽식 콜 옵션의 만기일 수익은 주식 가격에 따라 다르게 결정된다.

• 주가가 $80일 때, 옵션 수익은 80−50=30이다.
• 주가가 $20일 때, 옵션은 행사하지 않으므로 수익은 $0이다.

따라서 복제 포트폴리오의 수익도 옵션 수익과 동일하게 설정해야 한다.

 

3단계: 방정식 세우기

 

포트폴리오의 수익이 옵션 수익과 동일하도록 설정한 후, 이를 바탕으로 Δ와 B 값을 찾습니다. 두 개의 상황을 고려한 방정식을 세우면 다음과 같다:

1. 주가가 $80일 때: 80Δ+B=30
2. 주가가 $20일 때: 20Δ+B=0

4단계: 방정식 풀기

 

위의 방정식을 풀어보면 Δ=12이고 B=−10이다.

 

따라서 복제 포트폴리오에서 주식은 0.5주, 현금은 -$10이라는 값을 얻게 된다.

 

1.3.3 Risk Management

리스크는 대부분의 경제 활동에서 필연적으로 존재하며, 특히 금융 활동에서는 매우 중요하다. 현재 내리는 결정이 미래에 다양한 결과를 초래할 수 있기 때문이다. 회사들이 보험만으로는 리스크를 완전히 처리할 수 없기 때문에 각자가 리스크를 관리해야 한다. 리스크 관리는 복잡하며, 이를 위해서는 높은 수준의  수학적 기술이 필요하다.

 

최적화 문제

금융 리스크 관리에서의 최적화 문제는 성과 지표(예: 예상 투자 수익률)를 최대화하는 동시에, 특정 리스크 측정치가 정해진 한도(예: γ)를 넘지 않도록 하는 방식으로 정의된다.

 

수학적으로 다음과 같은 형태의 문제로 표현될 수 있다: 

여기서:

• xi :  특정 유가증권에 투자된 자금의 비율.
• μ : 각 유가증권의 예상 수익률을 나타내는 벡터.
• RM[x] : 포트폴리오 x의 리스크 척도. 이 값이 γ를 넘지 않아야 함.

이 문제는 비선형 프로그래밍 문제이다. 포트폴리오의 예상 수익률을 정해진 값 이상으로 유지하면서 리스크를 최소화하는 문제는, Markowitz의 평균-분산 최적화(MVO) 문제와 매우 유사한 구조를 가진다.

 

1.3.4 Asset/Liability Management

 

• 전통적 모델의 한계:
  • 자산 할당에 사용되는 전통적인 평균-분산 모델은 금융 기관이 여러 시점에 걸쳐 다양한 부채를 관리해야 하는 요구를 충분히 반영하지 않는다.
  • 이러한 모델은 평균에서 벗어나는 모든 편차를 벌점으로 평가하며, 평균보다 높은 수익과 낮은 수익을 구분하지 않는다.
• 다중 기간 모델의 필요성:
  • 금융 기관은 유한하거나 무한한 기간에 걸쳐 각 기간마다 부채를 충족시켜야 하기 때문에, 다중 기간 모델이 필요하다.
  • 부채와 자산의 수익률은 보통 무작위적인 요소를 포함하므로, 이러한 환경에서는 "불확실성 하의 최적화" 도구가 필요하다. 특히 확률적 프로그래밍 접근법이 요구된다.

• 수학적 모델 설명:
  • Lt는 각 기간 t에 해당하는 회사의 부채로, 확률적으로 알려진 분포를 가진다고 가정한다.
  • 자산/부채 관리를 위한 전형적인 문제는 회사가 각 기간에 어떤 자산을, 어느 정도의 양으로 보유해야 하는지 결정하여, 마지막 기간 TT에 기대 자산을 최대화하는 것이다.
  • 자산 클래스의 수익률은 Rit로 표시되며, 이 수익률도 확률적으로 알려진 분포를 가진다고 가정한다.
• 확률적 프로그램의 형식:

 

 

• 목표 함수는 마지막 기간의 총 자산의 기대값을 최대화하는 것이다.
• 제약 조건은 각 기간 Lt의 부채를 충족시키기 위한 자산 배분을 나타낸다.

제약조건을 보고 든 의문..

• 자산의 이익을 합친 값에서 새롭게 투자된 자산의 합을 뺀 값이 부채 Lt와 같아야 하는 이유가 무엇인가?-> 결국 수익을 모두 재투자 한다는 것인데 당장의 수익 실현을 하지 않는 이유는?-> 목적함수는 최종 기간 T에서의 최대 수익을 말한다. 따라서 얻은 수익을 모두 재투자하여 최대의 복리 효과를 누려 수익을 최대화한다.
• 부채보다 크거나 같은 것이 아니라 같다고 표시한 이유이기도 하다.