Optimization Methods in Finance Chapter 8.2

8.2 Maximizing the Sharpe Ratio

샤프 비율(Sharpe Ratio)를 최대화하여 최적의 위험 포트폴리오(optimal risky portfolio)를 구하는 방법에 대해 다룬다.

샤프 비율은 포트폴리오의 위험 대비 초과 수익을 측정하는 지표로, 투자 효율성을 평가하는 데 사용된다.

 

1. 효율적 프론티어와 Sharpe Ratio

효율적 프론티어

• 효율적 프론티어는 특정 위험 수준에서 가장 높은 기대 수익률을 제공하는 포트폴리오의 집합이다.
• 수학적으로:

 

• Rmin​: 최소 기대 수익률.
• Rmax​: 최대 기대 수익률.
• σ(R): 해당 기대 수익률에서의 위험(표준편차).

Capital Allocation Line (CAL)

• 위험자산과 무위험자산을 결합하여 생성되는 직선이다.
• CAL의 기울기는 샤프 비율에 해당하며, 기울기가 클수록 포트폴리오의 효율성이 높아진다.

2. Sharpe Ratio의 정의

• μ^Tx: 포트폴리오의 기대 수익률.
• rf​: 무위험 자산 (국채, 중앙은행의 기준금리에 기반한 자산의 수익률, 은행 예금(예금자 보호 한도 내)) 기대 수익률.
• x^TQx: 포트폴리오의 위험(분산).

Q. 무위험 자산의 수익률이 감소할수록 포트폴리오의 성과는 좋아지는가?

-> 일정 수준에서는 좋아질 수 있다. 그러나 rf가 지나치게 감소할 경우 매우 높은 샤프 비율이 실제 성과로 이어지진 않을 수 있다. 

 

샤프 비율이 높은 것이 무조건적인 장점이 될 순 없다. 

투자 의사 결정에서는 샤프 비율과 함께 포트폴리오의 실제 수익률과 위험을 종합적으로 평가해야 한다.

목표

• 샤프 비율 h(x)를 최대화하는 x를 찾는 것이다.
• 이는 최적의 위험 포트폴리오를 구하는 문제로 변환된다.

3. 최적화 문제

수식

 

• 이 최적화 문제는 선형 제약 조건과 비선형 목적 함수를 포함한다.
• 따라서 비볼록 최적화 문제(non-convex optimization problem)로 간주되며, 풀기 어렵다.

4. 최적 포트폴리오 구하기

접선 포인트 찾기

• 효율적 프론티어와 CAL이 만나는 점이 최적 위험 포트폴리오를 정의한다.
• 이 점에서 CAL의 기울기는 효율적 프론티어의 접선 기울기와 같다.

동등한 문제 변환

풀기 쉽게 하기 위하여 문제를 변환한다:

1. 동차 함수(homogeneous function)로 변환:

2. 새로운 변수 g(x)로 변환:

3. 선형화된 공간 X+를 정의:

5. 최적화 문제의 단순화

변환된 문제는 다음과 같이 표현된다:

최종 문제

6. 결론

• 샤프 비율을 최대화하면 최적 위험 포트폴리오를 구할 수 있다.
• 효율적 프론티어와 CAL의 접점이 이 포트폴리오를 정의한다.
• 문제는 복잡하지만 변환과 재구성을 통해 해결 가능하다.