조건부 확률 P(X | Y)에 대해 알아보자
현재 본인은 FHMM에 대해 공부하고 있다.
FHMM을 알기 위해서는 HMM을 알아야 하고, HMM을 알기 위해서는 MM을 알아야한다. 그래고 MM을 알기 위해서는
오늘 알아볼 P(X | Y)를 알아야 한다.
하나 하나 차근 차근 알아보도록 하자.
1. P(X | Y)란?
조건부 확률 P(X | Y)는 "Y가 일어났을 때, X가 일어날 확률"을 의미한다.
수식으로는 아래와 같이 쓴다
- → Y가 일어났을 때 X가 일어날 확률
- P(X∩Y) → X와 Y가 동시에 일어날 확률
- P(Y) → Y가 일어날 확률
그러니까 "Y라는 조건이 주어진 상태에서 X가 발생할 확률을 구하는 것"이다.
예시를 보며 자세히 알아보자.
예제 1 : 배고플 때 밥을 먹을 확률
한 소녀가 다이어트를 하기 위해 배고플 때 밥을 먹는 확률을 구하고자 한다.
여기서 X와 Y를 정의해보자.
- : 배가 고픔 (1) 또는 안 고픔 (0)
- : 밥을 먹음 (1) 또는 안 먹음 (0)
조건부 확률 구하기
"소녀가 배고플 때 밥을 먹을 확률은?"
즉,
| 식욕(Y) | 식사(X) |
| 배고픔 | 먹음 |
| 배고픔 | 먹음 |
| 배고픔 | 안 먹음 |
| 안 고픔 | 먹음 |
| 안 고픔 | 안 먹음 |
계산
배 고플 경우 먹는 횟수 : 2회
배 고플 경우 안 먹는 횟수 : 1회
따라서 다이어트 하는 소녀가 배고플 때 밥을 먹을 확률은 약 67% 정도 된다
조건부 확률을 구하다 보면 헷갈리는 상황이 생길 수 있다.
조건부 확률의 해석
가령 위의 예시를 다시 살펴보면,
- "배가 고파서 밥을 먹을 확률" (순차 개념)
- "배가 고플 경우 밥을 먹을 확률" (전제 개념)
비슷해 보이지만 전혀 다른 의미이다
전자는 배가 먼저 고프고, 그 다음에 밥을 먹는 것처럼 들린다.
하지만, 두 행동이 순차적인 개념으로 해석될 수 있기 때문에 조건부 확률의 의미와 맞지 않는다.
후자는 배고픈 경우에서 밥을 먹을 확률을 의미한다.
즉, "배고픔이라는 조건이 주어졌을 때, 소녀가 밥을 먹을 확률은 얼마인가?"를 계산하는 것이다.
따라서 조건부 확률은 '~하고 나서'가 아니라, '~라는 조건이 주어진 상태에서'로 이해해야 한다!
조건부 확률을 공부하는 이유
조건부 확률은 Markov Model (MM)을 이해하는 핵심 개념이다.
왜냐하면 마르코프 모델에서는 다음 상태 가 현재 상태 에 대한 조건부 확률로 결정되기 때문이다.
Markov Model에서는?
- P(X_t | X_{t-1}) → "이전 상태 에서 현재 상태 로 바뀔 확률"
- 예) "어제가 맑으면 오늘도 맑을 확률 P(맑음 | ☀️) = 60%"