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조건부 확률 P(X | Y)에 대해 알아보자

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by 김지똥 2025. 2. 10. 17:19

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현재 본인은 FHMM에 대해 공부하고 있다.

 

FHMM을 알기 위해서는 HMM을 알아야 하고, HMM을 알기 위해서는 MM을 알아야한다. 그래고 MM을 알기 위해서는 

 

오늘 알아볼 P(X | Y)를 알아야 한다. 

 

하나 하나 차근 차근 알아보도록 하자.

 

1. P(X | Y)란?

 

조건부 확률 P(X | Y)는 "Y가 일어났을 때, X가 일어날 확률"을 의미한다.

 

수식으로는 아래와 같이 쓴다

 

 

  •  → Y가 일어났을 때 X가 일어날 확률
  • P(X∩Y) → X와 Y가 동시에 일어날 확률
  • P(Y) → Y가 일어날 확률

그러니까 "Y라는 조건이 주어진 상태에서 X가 발생할 확률을 구하는 것"이다.

 

예시를 보며 자세히 알아보자.

 

예제 1 : 배고플 때 밥을 먹을 확률

 

한 소녀가 다이어트를 하기 위해 배고플 때 밥을 먹는 확률을 구하고자 한다.

 

여기서 X와 Y를 정의해보자.

  • : 배가 고픔 (1) 또는 안 고픔 (0)
  • 밥을 먹음 (1) 또는 안 먹음 (0)

 

조건부 확률 구하기


"소녀가 배고플 때 밥을 먹을 확률은?"
즉,

 

식욕(Y) 식사(X)
배고픔 먹음
배고픔 먹음
배고픔 안 먹음
안 고픔 먹음
안 고픔 안 먹음

 

계산

배 고플 경우 먹는 횟수 : 2회

배 고플 경우 안 먹는 횟수 : 1회

 

 

따라서 다이어트 하는 소녀가 배고플 때 밥을 먹을 확률은 약 67% 정도 된다

 

조건부 확률을 구하다 보면 헷갈리는 상황이 생길 수 있다.

 

조건부 확률의 해석

 

가령 위의 예시를 다시 살펴보면,

  • "배가 고파서 밥을 먹을 확률" (순차 개념)
  • "배가 고플 경우 밥을 먹을 확률" (전제 개념)

비슷해 보이지만 전혀 다른 의미이다

 

전자는가 먼저 고프고, 그 다음에 밥을 먹는 것처럼 들린다.

하지만, 두 행동이 순차적인 개념으로 해석될 수 있기 때문에 조건부 확률의 의미와 맞지 않는다.

 

후자는  배고픈 경우에서 밥을 먹을 확률을 의미한다.

즉, "배고픔이라는 조건이 주어졌을 때, 소녀가 밥을 먹을 확률은 얼마인가?"를 계산하는 것이다.

 

 

따라서 조건부 확률은 '~하고 나서'가 아니라, '~라는 조건이 주어진 상태에서'로 이해해야 한다!

 

조건부 확률을 공부하는 이유

조건부 확률은 Markov Model (MM)을 이해하는 핵심 개념이다.
왜냐하면 마르코프 모델에서는 다음 상태 가 현재 상태 에 대한 조건부 확률로 결정되기 때문이다.

 

 Markov Model에서는?

  • P(X_t | X_{t-1}) → "이전 상태 에서 현재 상태 로 바뀔 확률"
  • 예) "어제가 맑으면 오늘도 맑을 확률 P(맑음 | ☀️) = 60%"