Optimization Methods in Finance Chapter 8.4

8.4 Recovering Risk-Neural Probabilities from Op- tions Prices

위험 중립 확률은 자산 가격 이론에서 핵심적인 개념으로, 금융 시장에서 무위험 금리(risk-free rate)를 기준으로 미래의 현금 흐름을 할인하여 현재 가격을 계산할 때 사용된다.

 

정의

위험 중립 확률 측도는 다음과 같은 성질을 만족한다:

1. 현재 자산 가격은 해당 자산의 미래 현금 흐름(기대값)의 위험 중립 확률에 따른 할인값과 같다.
2. 위험 중립 확률은 *아비트라지(arbitrage, 무위험 차익거래)가 없는 시장에서만 존재한다.

*아비트라지: 금융시장에서 무위험으로 확정적인 이익을 얻는 거래를 의미하며, 시장 비효율성을 나타내는 신호이다.

주요 특징은 다음과 같다:

1. 무위험성: 손실 위험 없이 이익이 보장됨.
2. 가격 균형 역할: 시장 간의 가격 차이를 제거해 효율성을 유지.
3. 무아비트라지 조건: 금융 이론(예: 옵션 가격 모델)의 기초가 됨.

현대 시장에서는 거래 비용, 유동성 부족, 정보 비대칭성 등의 이유로 아비트라지 기회가 제한되거나 빠르게 사라진다.

수학적 정의

• S0i​: 현재 시점에서 i번째 자산의 가격.
• S1i​(ω): 상태 ω에서의 i번째 자산의 미래 현금 흐름.
• p(ω): 위험 중립 확률 측도에서 상태 ω의 확률.
• R=1+r: 무위험 금리.

위험 중립 확률 p는 다음 조건을 만족한다:

1. 불연속 상태 공간(Discrete State Space):

여기서 pj​는 상태 ωj​의 확률.

2. 연속 상태 공간(Continuous State Space):

여기서 p(ω)는 상태 공간 Ω=[a,b]에서의 확률 밀도 함수이다.

 

옵션 가격을 이용한 위험 중립 확률 복원

위험 중립 확률을 결정하는 것은 자산 가격 이론의 핵심 문제입니다. 특히 옵션 가격은 이 확률을 복원하는 데 중요한 역할을 한다.

다음은 이 과정의 주요 단계이다:

1. 옵션 가격과 위험 중립 확률

옵션 가격은 미래 현금 흐름의 위험 중립 확률 기대값으로 계산된다:

• 콜 옵션(Call Option) 가격:

• 풋 옵션(Put Option) 가격:

여기서 K는 행사가(strike price)이다.

 

**1/r이 아닌1/1+r을 곱한 이유:

1​/1+r은 미래 가치를 현재 가치로 변환하는 할인 요인(discount factor)이기 때문에, 옵션의 현재 가격을 계산하기 위해 사용된다. 

1/r은 단순 비율로, 할인 요인으로 사용할 수 없다.

 

2. 문제 정의

• 목표는 위험 중립 확률 밀도 p(ω)를 추정하는 것이다.
• p(ω)는 확률 밀도 함수의 조건을 만족해야 한다:

3. 큐빅 스플라인(Cubic Spline)을 이용한 확률 밀도 추정

위험 중립 확률 밀도 p(ω)를 추정하기 위해 큐빅 스플라인을 사용한다. 이는 함수의 부드러움을 보장하면서 계산 복잡성을 줄여준다.

• 스플라인은 구간별 다항식을 사용하여 함수 f(x)를 근사.
• m+1개의 노드(knots)를 사용해 함수 정의.

큐빅 스플라인은 다음 방정식을 만족해야 한다:

1. 연속성 조건: 각 노드에서 함수 값이 동일해야 함.
2. 미분 가능성: 1차 및 2차 미분이 연속적이어야 함.
3. 자연 경계 조건: 양 끝점에서 2차 미분값이 0이어야 함

***금융 관점에서 큐빅 스플라인(Cubic Spline)이 신뢰성을 높이는 이유

큐빅 스플라인(Cubic Spline)이 금융에서 신뢰성을 높이는 핵심 이유는 다음과 같다:

1. 부드럽고 연속적인 곡선 생성: 이자율 곡선, 변동성 곡면 등을 매끄럽게 연결하여 급격한 진동이나 비경제적 형태를 방지.
2. 노이즈 제거: 시장 데이터의 불완전성과 노이즈를 줄이고, 안정적이고 현실적인 결과 제공.
3. 지역적 수정 가능성: 특정 데이터 점 변경 시 해당 구간에만 영향을 미쳐 안정적 모델링 가능.
4. 리스크 중립 확률 밀도 추정: 옵션 가격 데이터를 기반으로 매끄러운 확률 분포를 생성해 옵션 가격 모델의 신뢰성 확보.
5. 과적합 방지: 고차 다항식 회귀의 문제를 해결해 데이터의 본질적인 패턴을 보존.

 

옵션 가격과 스플라인 기반 최적화 문제

1. 최소화 목표

옵션 가격에서 위험 중립 확률 밀도를 계산하기 위해 다음 오류 함수를 최소화한다:

여기서:

CK​(y)와 PK​(y): 추정된 위험 중립 확률로 계산된 이론적 옵션 가격.

CK​와 PK​: 실제 시장에서 관찰된 옵션 가격.

2. 제약 조건

최적화 문제는 다음 제약 조건을 포함한다:

1. 확률 밀도의 적분값은 1이어야 함.
2. ​각 노드에서 확률 밀도는 0 이상이어야 함.

결론

이 방법은 옵션 가격 데이터를 기반으로 위험 중립 확률 밀도를 추정하는 강력한 도구를 제공한다.

이를 통해 시장에서 관찰된 옵션 가격을 설명할 수 있는 위험 중립 확률 분포를 복원할 수 있다.

큐빅 스플라인과 같은 부드러운 함수 근사를 사용함으로써 계산 효율성을 높이고, 추정 결과의 신뢰성을 확보할 수 있다.