Optimization Methods in Finance Chapter 3.1-3.2

Chapter .3

LP Models: Asset/Liability Cash Flow Matching

 

3.1 Short Term Financing

3장에서는 기업이 단기 자금 조달 문제에 직면했을 때 선형 프로그래밍을 활용해 최적의 금융 수단 조합을 찾는 방법에 대해 설명하고 있다. 위의 문제는 그의 예시이다.

 

이 회사는 1월부터 6월까지 어떻게 자금을 조달하고 사용해야 할지, 어떤 달에 신용 한도를 사용할 것인지, 그리고 얼마나 많은 이자를 지불해야 할지 등의 질문에 답하기 위해 선형 프로그래밍을 적용할 수 있다. 또한, 데이터가 변화할 경우에 대한 시나리오 분석도 가능하다. 예를 들어, 1월의 순현금 흐름이 -150천 달러에서 -200천 달러로 변하거나, 신용 한도가 100천 달러에서 200천 달러로 증가하는 경우 등의 상황을 모델링하여 영향을 분석할 수 있다.

 

이 장에서는 선형 프로그래밍을 적용하는 과정을 모델링, 해결, 해석의 세 단계로 나누어 문제에 접근한다.

 

모델링 과정에서 문제에 대한 결정변수, 목적함수, 제약식 등을 바당으로 모델을 모델링 한 뒤, 해결 단계에서 솔버를 이용해여 문제를 푼다. 그 후 해석 단계에서 솔버를 통하여 도출된 결과를 해석하는 과정을 거친다.

 

이번 포스팅에서는 위의 과정을 생략할 예정이다. 이미 본인은 학과 수업에서 다루었고 모든 포스팅은 8장을 위한 공부이기에 빠르게 넘어가도록 하겠다. 만약 이 부분이 처음이라면 본 책을 참고하여 꼭 공부해보길 바란다.

 

3.1.5 Features of Linear Programs

선형 프로그래밍의 주요 특징과 가정은 다음과 같다:

1. 비례 가정 (Proportionality Assumption):
   • 모든 결정 변수의 기여가 그 변수의 값에 비례한다고 보는 것이다. 예를 들어, 어떤 상품을 하나 더 생산하는 데 드는 비용이나 그로 인한 이익이 일정하다고 가정해보자. 즉, 변수의 값이 2배, 3배로 증가하면 그에 따른 비용이나 이익도 각각 2배, 3배가 되어야 한다.
2. 가산성 가정 (Additivity Assumption):
   • 목표 함수나 제약식에 기여하는 변수의 기여는 다른 변수의 값에 독립적이다. 예를 들어, 한 제품의 생산량을 늘리더라도 다른 제품의 생산 비용이나 필요 자원에는 영향을 미치지 않는다고 보는 것이다.
3. 분할 가능성 가정 (Divisibility Assumption):
   • 선형 프로그래밍 모델에서는 모든 변수가 연속적인 값을 가질 수 있다고 가정한다. 즉, 제품을 정수 단위로만 생산해야 하는 실제 상황과 달리, 모델에서는 소수점 단위의 생산도 가능하다고 보는 것이다. 이 가정이 적용되지 않는 경우, 예를 들어 제품을 반 개 생산하는 것이 불가능한 경우에는 정수 프로그래밍 기법을 사용해야 한다.
4. 확실성 가정 (Certainty Assumption):
   • 선형 프로그래밍은 모든 숫자에 대해 불확실성이 없다고 가정합니다. 즉, 모든 파라미터와 계수 값이 정확하고 변동이 없다고 본다.

이러한 가정들은 선형 프로그래밍이 간단하고 계산하기 쉬운 모델을 제공하지만, 실제 세계의 복잡성을 완전히 반영하지 못할 수도 있다는 한계를 내포하고 있다. 따라서 이 모델을 사용할 때는 이러한 가정들이 실제 상황과 얼마나 잘 맞는지를 항상 고려해야 한다.

 

3.2 Dedication

자금 조달 기법 중 하나인 "Dedication"에 대한 장이다. 이 방법은 미래에 알려진 채무를 충당하기 위해 자산 포트폴리오를 구성하는 데 사용된다. 자산의 현금 흐름이 채무의 현금 흐름과 정확히 일치하도록 포트폴리오를 구성함으로써, 채무가 도래할 때 추가적인 자산 매매 없이 채무를 상환할 수 있다. 이러한 포트폴리오는 일반적으로 위험도가 낮은 비호출 가능 채권(발행자가 특정 조건에서도 채권을 조기 상환할 권리가 없는 채권)으로만 구성된다.

 

면역화된 포트폴리오(Immunized Portfolio)

면역화된 포트폴리오구성 절차:

 

• 현재 가치 계산 (Present Value, PV)
  • 미래의 현금 흐름(채무나 의무)을 오늘날의 가치로 환산하는 과정이다. 이는 각 현금 흐름을 해당 시점의 위험 없는 이자율로 할인하여 계산한다. 이 과정을 통해 전체 포트폴리오의 현재 가치를 결정하며, 이는 이자율 변화에 따른 포트폴리오 가치의 기본적인 민감도를 설정하는 기준이 된다.
  • 수식 :
  • 여기서 Lt​는 시간 t에서의 채무이고, rt는 시간 t에서의 리스크-프리 이자율이다.

• 듀레이션 조정 (Duration Matching)
  • 듀레이션은 포트폴리오의 평균 만기를 나타내며, 이자율 변화에 대한 포트폴리오의 민감도를 측정하는 중요한 지표이다. 듀레이션 매칭은 포트폴리오의 듀레이션을 미래 의무의 듀레이션과 일치시키는 과정으로, 이를 통해 이자율의 평행 이동에 대한 포트폴리오의 면역을 구현한다.
  • 수식 :

• 컨벡서티 조정 (Convexity Adjustment)
  • 컨벡서티는 듀레이션만으로 설명할 수 없는 이자율 변화에 대한 추가적인 민감도를 제공한다. 이자율의 비평행 이동이 발생할 때, 컨벡서티를 조정함으로써 포트폴리오의 안정성을 더욱 강화할 수 있다. 컨벡서티는 이자율 변화에 따른 포트폴리오 가치의 변동 곡선의 정도를 나타내며, 더 높은 컨벡서티는 이자율 변화에 대해 포트폴리오 가치가 더 유연하게 반응함을 의미한다.
  • 수식 :

 

 

 

면역화된 포트폴리오는 현재 가치, 듀레이션, 컨벡서티를 기준으로 구성되어, 이자율의 평행 이동에 대해 면역을 제공하지만, 이자율 곡선의 비평행 이동에는 취약할 수 있다. 이러한 포트폴리오는 시장 조건의 변화에 따라 적극적으로 관리되어야 하며, 이는 추가적인 비용이 발생할 수 있다.

반면, 전념 포트폴리오(Dedicated Portfolio)는 한 번 구성되면 추가적인 관리가 필요 없는 장점이 있다. 이는 리스크를 효과적으로 제거하고 금융 의무를 안정적으로 충족시킬 수 있는 방법으로, 주로 지방 정부나 작은 연금 기금 등에서 사용된다.

 

이자율의 평행이동이 무엇인지 잘 이해가 되지 않는다. 자세히 알아보자.

 

면역화된 포트폴리오(Immunized Portfolio)는 재무 관리에서 중요한 전략으로, 특정 목표를 달성하기 위해 포트폴리오의 현재 가치(Present Value), 듀레이션(Duration), 컨벡서티(Convexity)를 조정하여 구성된다. 이는 포트폴리오를 이자율 변화에 대한 위험으로부터 보호하기 위한 목적으로 사용된다. 여기서 이자율의 변화가 평행 이동과 비평행 이동의 두 형태로 나타날 수 있음을 이해하는 것이 중요하다고 한다.

 

이자율의 평행 이동과 면역화된 포트폴리오

• 평행 이동: 이자율 곡선의 모든 만기에 대해 이자율이 동일한 비율로 상승하거나 하락하는 경우를 말한다. 예를 들어, 모든 만기의 이자율이 1% 포인트 증가하는 것이다.
• 면역화 전략: 면역화된 포트폴리오는 이러한 평행 이동에 대해 면역을 제공하도록 설계된다. 듀레이션을 조정하여 이자율 변화에 따른 포트폴리오 가치의 변동을 최소화한다. 듀레이션이 포트폴리오의 목표 만기와 일치하도록 설정하면, 이자율 변화에 따른 포트폴리오 가치의 총 변동이 0에 가까워진다.

이자율의 비평행 이동과 면역화된 포트폴리오

• 비평행 이동: 이자율 곡선의 각 지점에서 이자율이 서로 다른 비율로 변하는 경우를 말한다. 예를 들어, 단기 이자율은 상승하는 반면 장기 이자율은 하락할 수 있다.
• 취약성: 면역화된 포트폴리오는 이러한 비평행 이동에 대해 취약할 수 있다. 듀레이션과 컨벡서티를 조절하여 일부 위험을 관리할 수 있으나, 모든 유형의 이자율 변화를 완벽하게 보호할 수는 없다. 특히, 컨벡서티는 이자율 변화에 따른 포트폴리오 가치의 곡선을 더 정밀하게 측정하여 이자율 변화의 영향을 추가로 완화하는 데 도움을 줄 수 있다.

그래프를 통해 예시를 들어보겠다.

 

 

 

• 초기 이자율 곡선(Initial Yield Curve): 이 곡선은 초기 상태의 이자율을 나타내며, 만기가 길어질수록 이자율이 점진적으로 증가한다.
• 평행 이동(Parallel Shift): 모든 만기의 이자율이 일정하게 1% 증가한다. 이는 시장 전반에 걸쳐 이자율이 균일하게 상승하거나 하락하는 경우를 나타내며, 모든 지점에서 이자율 변화가 동일하다.
• 비평행 이동(Non-Parallel Shift): 이 곡선은 만기에 따라 이자율 증가의 정도가 다르다. 여기서는 짧은 만기의 이자율이 상대적으로 더 많이 증가하고, 장기 만기로 갈수록 증가율이 낮아진다. 이는 실제 금융 시장에서 자주 보게 되는 현상으로, 단기 이자율과 장기 이자율 사이의 스프레드(spread)가 변화하는 것을 나타낸다.

 

 

 

 

 

적극적 관리의 필요성

• 관리 필요성: 면역화된 포트폴리오는 시장 조건의 변화, 특히 비평행 이동과 같은 복잡한 이자율 변화에 적극적으로 대응해야 한다. 이는 지속적인 모니터링과 조정을 필요로 하며, 투자 결정이나 자산 재배치와 같은 관리 활동이 필요하다.
• 비용 발생: 이러한 적극적인 관리는 운용 비용을 증가시킬 수 있다. 포트폴리오를 지속적으로 평가하고 필요에 따라 재구성하는 데 드는 비용이 추가적으로 발생하게 되므로, 면역화 전략의 효과와 비용을 면밀히 검토할 필요가 있다.

이러한 전략은 특히 이자율 변화에 민감한 자산을 관리하거나, 특정 시점에서의 금융 목표 달성이 중요한 기관 투자자들에게 유용할 수 있다. 면역화된 포트폴리오는 이자율 위험을 관리하는 강력한 도구이지만, 그 구성과 운용에는 전문적인 지식과 경험이 필요하다.